Opgave 1

In de tekening geldt $\sin(\angle A_1) = \sin(\angle A_2)$, want $\angle A_1 = \angle A_2$. Ook geldt dat $\sin(\angle A'_3)=\sin(\angle A'_4)$, want $\angle A'_3 + \angle A'_4 = 180^{\rm o}$.

Met de sinusregel kun je vervolgens afleiden dat $a$ is opgedeeld in de stukken $\frac{ab}{b+c}$ en $\frac{ac}{b+c}$.

Vanuit de andere twee hoeken volgen op vergelijkbare wijze de andere segmenten.

 

Opgave 2

Ga in de figuur hieronder van $B$ naar $C$ naar $A$ en dan terug naar $B$ en vervang alle vraagtekenes met uitdrukkingen in termen van $a$, $b$, $c$ en $x$. Dit geeft de volgende oplossing voor $x$: $x=\frac{c+a-b}{2}$ en analoge antwoorden voor de overige vraagtekens.

Opgave 3

Er zijn verschillende manieren om dit te laten zien. Direct gebruik van de antwoorden op opgave 1 en 2 geeft de vergelijking

$$\frac{ac}{b+c} = \frac{c+a-b}{2}.$$

Dit leidt tot de vergelijking $(c+b-a)(c-b)=0$ en aangezien onmogelijk is dat $c+b-a=0$ moet wel gelden dat $b=c$.

Opgave 4

Laat $h_1$ de naam zijn voor de afstand van punt $P$ tot zijde $a$ en $h_2$ de naam voor de afstand van punt $A$ tot zijde $a$. Hieruit volgt dat

$$x : y=\frac{xh_1}{2}:\frac{yh_2}{2} = \frac{xh_2}{2} : \frac{yh_2}{2}=\left(\frac{xh_2}{2}-\frac{xh_1}{2}\right):\left(\frac{yh_2}{2}-\frac{yh_1}{2}\right).$$

De verhouding

$$x:y=\frac{c+a-b}{2}:\frac{a+b-c}{2}.$$

Opgave 5

Nu is $x:y=\frac{c+a-b}{2}:\frac{a+b-c}{2}.$

Opgave 6

$Oranje : Groen=\frac{a+bc-}{2}:\frac{c+a-b}{2}.$

$Groen : Paars = \frac{b+c-a}{2}:\frac{a+b-c}{2}.$

Dan is $Oranje : Paars=\frac{b+c-a}{2}:\frac{a+c-b}{2}$ en dit is dezelfde verhouding als $AF:FB$. Dus als je aan het antwoord op opgave 4 denkt, moet het verlengde van $CP$ door $F$ gaan.

 

 

In de figuur hiernaast is te zien hoe de eigenschappen van de cirkel met middelpunt $P$ worden gebuikt om het middelpunt $p$ van de volgende cirkel te bepalen.