De naam Identiteit van Morrie hebben we te danken aan de bekende natuurkundige Richard Feynman. In zijn jeugd was Feynman namelijk bevriend met een zekere Morrie Jacobs die hem deze uitdrukking liet zien. Voor de rest van zijn leven bleef hij deze curiositeit onthouden, waarna hij besloot om ze naar Morrie te
vernoemen.

Er zijn wel meer producten van drie cosinussen met dezelfde uitkomst. Een eenvoudig voorbeeld is $\cos(60^{\rm o}) \cdot \cos(120^{\rm o}) \cdot \cos(240^{\rm o}) = \frac{1}{8}$ , want deze cosinussen zijn respectievelijk gelijk aan $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$ en $-\frac{1}{2}$. Het bijzondere aan de identiteit van Morrie is echter dat de drie cosinussen in het linkerlid irrationaal zijn: $\cos(20^{\rm o}) \approx 0{,}9397$, $\cos(40^{\rm o}) \approx 0{,}7660$ en $\cos(80^{\rm o}) \approx 0{,}1736$. Hoe kan het dat hun product dan exact $\frac{1}{8}$ is, en dus rationaal? We bekijken twee bewijzen: een meetkundig en een goniometrisch.

Een meetkundig bewijs

We starten met het meetkundig bewijs, vertrekkende van een regelmatige negenhoek $ABCDEFGHI$ met zijde $1$. Elke inwendige hoek van deze negenhoek meet dan precies $140^{\rm o}$. We verdelen zo'n hoek, bijvoorbeeld de hoek $\angle ABC$, in drie nieuwe hoeken $\alpha = \angle CBD$, $\beta = \angle DBF$ en $\gamma = \angle FBA$ met behulp van twee diagonalen $BD$ en $BF$. Noem tot slot $M$ het midden van het lijnstuk $AB$, $L$ het midden van lijnstuk $BF$ en $K$ het midden van lijnstuk $BD$.

Opgave 1 Ga na, met behulp van de afbeelding, dat: $\alpha = 20^{\rm o}$ (tip: bekijk de gelijkbenige driehoek $BCD$), $\beta = 40^{\rm o}$ (bekijk de rechthoekige driehoek $BDL$) en $\gamma = 80^{\rm o}$. (De drie hoeken uit de identiteit!)

Nu gebruiken we de definitie van de cosinus in een rechthoekige driehoek. Ter herinnering: de cosinus van een hoek is gelijk aan de lengte van de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde. Bijvoorbeeld in driehoek $BFM$ hebben we dat $\cos(\gamma)=|MB| / |BF|$, en dus dat $|MB| = |BF| \cdot \cos(\gamma)$. Hierdoor vinden we dat:

	$1=|AB|$	$=$	$2\cdot|MB|$
		$=$	$2\cdot|BF|\cos(\gamma)$

 

Opgave 2 Pas dezelfde techniek ook toe in de rechthoekige driehoek $BDL$ om $BF$ te schrijven als $2 \cdot |BD| \cdot \cos(\beta)$, en vervolgens in de rechthoekige driehoek $BCK$ om $BD$ te schrijven als $2 \cdot |BC| \cdot \cos(\alpha)$, en voltooi zo het (eerste meetkundige) bewijs van de identiteit van Morrie.

Een goniometrisCh bewijs

De essentie van het goniometrisch bewijs zit gek genoeg verscholen in de verdubbelingsformule van de sinus: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)$. Deze kunnen we herleiden tot

$$\cos(\alpha)=\frac{\sin(2\alpha)}{2\sin(\alpha)},$$

waardoor we een cosinus dus kunnen herschrijven als quotiënt van twee sinussen.

Opgave 3 Vereenvoudig de uitdrukking $\cos(20^{\rm o}) \cdot \cos(40^{\rm o}) \cdot \cos(80^{\rm o})$ met deze verdubbelingsformule zo ver mogelijk.

Je bent vast gekomen tot de uitdrukking

$$\frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(160^{\rm o})}{\sin(20^{\rm o})}.$$

Opgave 4 Leg uit met behulp van de symmetrie van de sinusgrafiek dat $\sin(160^{\rm o}) = \sin(20^{\rm o})$.

Gelijkaardige uitdrukkingen vinden

Aan de hand van dit goniometrisch bewijs kunnen we verder onderzoek voeren naar gelijkaardige uitdrukkingen.

Opgave 5 Schrijf voor zowel $cos(20^{\rm o}) \cdot \cos(40^{\rm o}) \cdot \cos(80^{\rm o})$ als voor $\cos(60^{\rm o}) \cdot \cos(120^{\rm o}) \cdot \cos(240^{\rm o})$ de herleiding uit en ontdek de regelmaat.

De regelmaat opent de weg naar nog veel meer producten van tweetallen, drietallen, viertallen etc., al dan niet met een minteken. Het worden niet altijd mooie gehele getallen in graden, maar uitgedrukt in radialen voor een willekeurige hoek b ziet het er al weer beter uit.

Opgave 6 Laat zien dat je de vergelijking $\cos(\beta)\cdot\cos(2\beta)=-\frac{1}{4}$ kunt herleiden tot $\sin(4\beta) = -\sin(\beta)$ en los deze vergelijking op.

Is het je opgevallen dat er oneindig veel oplossingen zijn en dat jouw oplossingsmethode ook valse oplossingen gaf? Hieronder volgt een uitwerking en een verklaring voor die valse oplossingen.

We beginnen met het herleiden van de vergelijking $\cos(\beta)\cdot\cos(2\beta)=-\frac{1}{4}$ naar $\frac{1}{4}\frac{\sin(4\beta)}{\sin(\beta)}=-\frac{1}{4}$, dus $\frac{\sin(4\beta)}{\sin(\beta)}=-1$ en dus $\sin(4\beta) = -\sin(\beta)$ .

Opgave 7 Het venijn zit in de laatste stap, want in de omgekeerde richting geldt dit niet. Onderzoek onder welke voorwaarden de laatste stap waar is in beide richtingen.

Er zijn verschillende manieren om de vergelijking $\sin(4\beta) = -\sin(\beta)$ systematisch op te lossen. Allereerst is $-\sin(\beta) = \sin(-\beta)$ en dus zoeken we even goed naar oplossingen van de vergelijking $\sin(4\beta) = \sin(-\beta)$. Vanwege de symmetrie van de sinusgrafiek ga je in feite twee vergelijkingen uitwerken, namelijk zowel $4\beta = -\beta$ als $\pi - 4\beta = -\beta$. Omdat de oplossingen periodiek zijn, vind je alle oplossingen door voor alle gehele waarden van $k$ de twee vergelijkingen uit te werken: zowel $4\beta = -\beta + k \cdot 2\pi$ als $\pi - 4\beta = -\beta + k \cdot 2\pi$.

De eerste vergelijking uitwerken geeft achtereenvolgens $5\beta=k\cdot 2\pi$ en dus $\beta = k\cdot\tfrac{2}{5}\pi$. Oplossingen zijn bijvoorbeeld $\beta=0$, $\beta=\tfrac{2}{5}\pi$, $\beta=\tfrac{4}{5}\pi$, etc.. Uitgedrukt in graden krijg je als oplossingen $b = 0^{\rm o}$, $\beta = 72^{\rm o}$, $\beta = 144^{\rm o}$, etc., maar ook $\beta = 360^{\rm o}$. Nu we de $\beta$ gevonden hebben, kunnen we terug naar de oorspronkelijke vergelijking $\cos(\beta)\cdot\cos(2\beta)=-\frac{1}{4}$.. Voor $\beta = 0^{\rm o}$ staat er dat $\cos(0^{\rm o}) \cdot \cos(0^{\rm o}) = -\tfrac{1}{4}$ en dat is absoluut niet waar. Het venijn zit inderdaad in de laatste stap, want $\sin(4 \cdot 0) = -\sin(0)$, maar $\frac{\sin(4\cdot 0)}{\sin(0)}\neq-1.$.

De tweede vergelijking uitwerken geeft dan weer $3\beta = \pi - k \cdot 2\pi$. Vermits $k$ alle gehele waarden kan aannemen, kunnen we hier evengoed $3\beta = \pi + k \cdot 2\pi$ van maken, want dat geeft precies dezelfde oplossingen. (Ben je hiervan niet overtuigd, schrijf dan gerust het rechterlid van beide vergelijkingen een aantal keer uit: voor $k = 0,1,2,\ldots$ maar ook voor $k = -1, -2, \ldots$. Je zult snel zien dat dit inderdaad twee keer dezelfde uitdrukkingen oplevert.) We vinden dus $\beta=\tfrac{1}{3}\pi+k\cdot\tfrac{2}{3}\pi$. Een valse oplossingen vind je bij $k = 1$, want voor $b = \pi$ geldt $\sin(\pi) = 0$ en dus wordt niet voldaan aan $\sin(4\beta) = -1$.

Opgave 8 Controleer de volgende beweringen: $\cos(72^{\rm o}) \cdot \cos(144^{\rm o}) =-\frac{1}{4}$, $\cos(144^{\rm o}) \cdot \cos(288^{\rm o}) =-\frac{1}{4}$ en $\cos(300^{\rm o}) \cdot\cos(600^{\rm o})=-\frac{1}{4}$. Opgave 9 Onderzoek of er mooie geheeltallige waarden van $\beta$ zijn voor de vergelijking $\cos(\beta)\cdot\cos(2\beta)\cdot \cos(4\beta)\cdot\cos(8\beta) =\frac{1}{16}$ .