In de vorige Pythagoras heb je kunnen lezen hoe je met behulp van iteraties klassieke fractals zoals de Sierpiński driehoek kunt creëren: een herhaling van simpele berekeningen leidt tot een collectie van punten die allemaal samen de fractal vormen. In zijn boek Fractals everywhere uit 1988 legt Michael Barnsley uit waarom deze methode werkt, en bootst hij diverse vertakkende structuren in de natuur na met een fractal. De varen uit dat boek draagt inmiddels zijn naam. Als je het artikel in de vorige Pythagoras helemaal hebt doorgewerkt, heb je als uitsmijter een programmaatje geschreven dat deze varen maakte. Zie figuur 1.

Als je goed kijkt zie je dat deze varen, net als de driehoek en het tapijt van Sierpiński, kan worden overdekt met verkleinde versies van zichzelf. In het geval van de varen zijn deze kleinere versies ook iets vervormd. Om dat goed te zien, tekenen we een rechthoek die de varen bevat (blauw in figuur 2), en overdekken we de varen met behulp van vierhoeken op zo'n manier dat binnen iedere vierhoek een verkleinde versie van de varen te zien is.

Je ziet in figuur 2 dat je met drie vierhoeken en het witte lijnstuk de hele varen in de blauwe vierhoek kunt overdekken. Dat correspondeert met vier transformaties die ieder de grote rechthoek afbeelden op een van de kleinere vierhoeken of op het lijnstuk.

Iteraties

Dit is precies wat Barnsley deed. Hij bedacht vier transformaties die hij gebruikte om de varen in stappen te construeren, uitgaande van een beginpunt. Op basis van de vierhoeken is het duidelijk dat de transformatie die overeenkomt met de bruine rechthoek, meer moet worden gebruikt dan de andere (meer punten!), en dat degene die punten in het witte lijnstuk oplevert maar af en toe nodig is.

Het idee voor de iteratie is eenvoudig. Start met een beginpunt $(x_0, y_0)$ in het vlak en bereken de coördinaten van het volgende punt als functie van die van het huidige punt: $(x_1, y_1) = \left( f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0)\right)$, vervolgens $(x_2, y_2) = \left(f_x(x_1,y_1), f_y(x_1,y_1)\right)$, enzovoort. Voor algemene $n \in \mathbb{N}$ kun je dit schrijven als $(x_{n+1}, y_{n+1}) = \left(f_x(x_n,y_n), f_y(x_n,y_n)\right)$.

MatriCes en veCtoren

Voor de varen zijn de functies van de vorm $(x_{n+1}, y_{n+1}) = \left(ax_n + by_n + e, cx_n + dy_n + f\right)$. Ofwel

$x_{n+1}$	$=$	$ax_n+by_n+e$,
$y_{n+1}$	$=$	$cx_n+dy_n+f$.

 

Dit wordt gewoonlijk geschreven met een matrix en vectoren. Een vector

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$$

kun je opvatten als een pijl die van de oorsprong naar het punt $(x,y)$ wijst. En met een vector

$$\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$$

kun je bovenstaande berekening voor het volgende punt op een overzichtelijke manier opschrijven met behulp van een matrix-vectorvermenigvuldiging en een vectoroptelling: 

$$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}.$$

Voor lineaire functies van veel variabelen zijn matrices enorm handig. Ze worden dan ook heel vaak en voor heel veel verschillende toepassingen gebruikt.

Om de varen te creëren is nog iets extra's nodig. Er zijn vier definiërende functies en voor iedere volgende iteratie wordt een van de functies met een bepaalde kans gebruikt:

$f_1(x,y)$	$=$	$\begin{pmatrix}0&0\\0&0{,}16)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$	met kans $0{,}01$,
$f_2(x,y)$	$=$	$\begin{pmatrix}0{,}85&0{,}04\\-0{,}04&0{,}85)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0{,}16\end{pmatrix}$	met kans $0{,}85$,
$f_3(x,y)$	$=$	$\begin{pmatrix}0{,}2&-0{,}26\\0{,}23&0{,}22)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0{,}16\end{pmatrix}$	met kans $0{,}07$,
$f_4(x,y)$	$=$	$\begin{pmatrix}-0{,}15&0{,}28\\0{,}26&0{,}24)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1{,}44\end{pmatrix}$	met kans $0{,}07$.

De precieze opbouw van de varen ligt dus niet vast. Maar hoe meer iteraties je gebruikt, hoe meer twee apart gegenereerde varens op elkaar lijken, en in de limiet zijn ze hetzelfde.

Draaien, verkleinen en transleren

Om te begrijpen hoe Barnsley tot zijn transformaties is gekomen, en hoe de varen daarmee wordt opgebouwd, gaan we eerst naar $f_2$ kijken. Begin met een vierkant met hoekpunten $A(0,1)$, $B(1,1)$, $C(1,0)$ en $D(0,0)$. Gebruik $f_2$ om het beeld van dit vierkant te berekenen. Voor punt $A$ geeft dit

$f_2(0,1)$	$=$	$\begin{pmatrix}0{,}85&0{,}04\\-0{,}04&0{,}85\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1{,}6\end{pmatrix}$
	$=$	$\begin{pmatrix}0{,}85\cdot0+0{,}04\cdot1\\-0{,}04\cdot0+0{,}85\cdot1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}04\\2{,}45\end{pmatrix}$

zodat het beeld van $A$ wordt gegeven door $A'(0{,}04;2{,}45)$. Als eerste valt de translatie op: het punt is duidelijk naar boven geschoven, wat komt doordat bij de $y$-coördinaat uiteindelijk $1{,}6$ opgeteld wordt.

$f_2$ toegepast op het eenheidsvierkant $ABCD$	40 iteraties $f_2$ vanuit het beginpunt $(x_0,y_0)=(0,0)$

Ga na dat de overige hoekpunten worden afgebeeld op $B'(0{,}89;2{,}41)$, $C'(0{,}85;1{,}56)$ en $D'(0;1{,}6)$. Zie figuur 3a. Je kunt nagaan dat de vier punten weer een vierkant vormen, door te controleren dat de zijden even lang zijn en loodrecht op elkaar staan:

$A'D'$	$=$	$\sqrt{(0{,}04-0)^2+(2{,}45-1{,}6)^2}$
	$=$	$\sqrt{0{,}04^2+0{,}85^2}=A'B'=B'C'=C'D'$

De richtingscoëfficiënt van $A'B'$ is $m_1 = -0{,}04/0{,}85$ terwijl die van $B'C'$ gelijk is aan $m_2 = 0{,}85/0{,}04$, zodat $m_1m_2 = -1$ en de zijden loodrecht op elkaar staan. En een vierhoek met vier even lange zijden en een rechte hoek is een vierkant. Dit resulterende vierkant is een factor $s = \sqrt{0{,}04^2 + 0{,}85^2} \approx 0{,}85094$ kleiner dan het oorspronkelijke en is behalve getransleerd ook iets gedraaid ten opzichte van het vierkant $ABCD$. Met de klok mee, en dus over een negatieve hoek. De verschillende transformaties kun je goed zien als je de matrix ontbindt in twee matrices: $S$ voor het schalen met een factor $s$ en $R$ voor de draaiing rond de oorsprong:

$S=\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}$ en $R=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$.

Deze kunnen worden vermenigvuldigd zoals wordt uitgelegd in het kader. De draaiingshoek $\theta$ kun je uitrekenen in het rechthoekige driehoekje dat $A'$ en $D'$ met de $y$-as vormen: $\theta = -\tan^{-1}(0{,}04/0{,}85) \approx -2{,}69^{\rm o}$. En afgerond kunnen we dus schrijven:

$$f_2(x,y)=\begin{pmatrix}0{,}85094&0\\0&0{,}85094\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos(-2{,}69^{\rm o})&-\sin(-2{,}69^{\rm o})\\-\sin(-2{,}69^{\rm o})&\cos(-2{,}69^{\rm o})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0{,}16\end{pmatrix}$$

Hiermee is dus duidelijk dat $f_2$ een object $2{,}69^{\rm o}$ met de klok mee draait rond de oorsprong, verkleint met een factor $0{,}8509$ en in verticale richting transleert over een fstand van $1{,}6$ eenheden.

Opbouw van de nerf

Herhaaldelijk $f_2$ toepassen op het punt $(x_0,y_0) = (0,0)$ levert een ander inzicht op, zie figuur 3b waarin 40 iteraties zijn toegepast. Je ziet de centrale nerf van het varenblad verschijnen. De eerste punten zijn

$(x_1,y_1)$	$=$	$(0; 1{,}6)$
$(x_2,y_2)$	$=$	$(0{,}064; 2{,}96)$
$(x_3,y_3)$	$\approx$	$(0{,}1728; 4{,}1134)$
$(x_4,y_4)$	$\approx$	$(0{,}3114; 5{,}0895)$

Het lijkt een convergent proces en dat is het ook. Het rechterbovenhoekje van de bruine rechthoek in figuur 2 is gelijk aan dat van de blauwe rechthoek. Je kunt uitrekenen dat het ongeveer ligt in het punt $(2{,}258; 9{,}965)$. Dit is het toppuntje van het gecreëerde varenblad. Toepassen van $f_2$ op dit punt geeft precies hetzelfde punt:

$$\begin{pmatrix}0{,}85&0{,}04\\-0{,}04&0{,}85\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2{,}265\ldots\\9{,}958\ldots\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}265\ldots\\9{,}958\ldots\end{pmatrix}.$$

 

[later meer...]