Constructie

(naar een artikel van Mihai Prunescu):

Neem twee positieve reële getallen $a$ en $b$. Zoals bekend gaat er door drie gegeven punten die niet op één en dezelfde rechte lijn liggen een unieke cirkel. Teken in het $(x, y)$-vlak de cirkel die wordt bepaald door de drie punten $(-a, 0)$, $(0, -1)$ en $(b, 0)$. Deze cirkel snijdt de positieve $y$-as in het punt $(0, y)$, waarbij $y = ab$ het product is van de getallen $a$ en $b$.

Priemzeef bestaande uit cirkels. De cirkel door de punten $(-a, 0)$, $(0, -1)$ en $(b, 0)$ gaat door het punt 
$(0, ab)$. Zijn $a$ en $b$ natuurlijke getallen groter dan $1$, dan is $ab$ per definitie geen priemgetal.

Opgave 1

$Bewijs\ door\ berekening$

De algemene vergelijking van een cirkel in het $(x, y)$-vlak is $(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2$, waarbij $(u, v)$ het middelpunt is en $r$ de
straal. Reken na dat de punten $(-a, 0)$, $(0, -1)$ en $(b, 0)$ de cirkel bepalen met middelpunt $$\left(\frac{b-a}{2},\frac{ab-1}{2}\right)$$ en straal $$\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+1}\sqrt{b^2+1}.$$

Het snijpunt met de positieve $y$-as volgt uit de vergelijking van de cirkel door $x = 0$ te stellen, maar het is eleganter goed naar de cirkel te kijken en op te merken dat dit snijpunt even ver boven
het middelpunt ligt als het punt $(0, -1)$ eronder.

Leid hieruit af dat $y = ab$.

De cirkel door de punten $(-a, 0)$, $(0,-1)$ en $(b, 0)$ gaat door het punt $(0, ab)$: de blauwe driehoeken zijn gelijkvormig, waaruit volgt dat $y = ab$.

Opgave 2

$Bewijs\ met\ passer\ en\ liniaal$

Hoe kun je met alleen een liniaal zonder schaalverdeling en een passer de cirkel door de drie punten $(-a, 0)$, $(0, -1)$ en $(b, 0)$ construeren? Figuur 2 geeft een aanwijzing. Teken twee
cirkels van gelijke grootte, gecentreerd op de punten $(-a, 0)$ en $(0, -1)$. Teken vervolgens de rechte lijn bepaald door hun twee  snijpunten. Herhaal deze stappen voor de twee andere tweetallen
punten. Beredeneer dat de drie zo verkregen lijnen door één punt
gaan, en dat dit punt tot elk van de drie gegeven punten dezelfde afstand heeft en het dus als middelpunt van een cirkel door die drie punten kan dienen. Teken deze cirkel.

We tonen aan dat de driehoek met hoekpunten $(-a, 0)$, $(0, 0)$, $(0, y)$ en de driehoek met hoekpunten $(0, -1)$, $(0, 0)$, $(b, 0)$  gelijkvormig zijn. Ga na dat daaruit direct volgt dat $y = ab$.

De gelijkvormigheid tonen we aan door te bewijzen dat de hoeken waaronder de cirkelboog tussen $(-a, 0)$ en $(0, -1)$ wordt gezien vanuit $(b, 0)$ en vanuit $(0, y)$ gelijk zijn. Ga uit van de hoeken $\varphi$ en $\psi$, en leidt de andere aangegeven hoeken af; gebruik dat hoeken die samen een rechte lijn opspannen evenals de drie hoeken van een driehoek optellen tot $\pi$ radialen.

De conclusie is dat de omtrekshoek $\psi$ vanuit $(b, 0)$ op de cirkelboog gelijk is aan de helft van de middelpuntshoek op de cirkelboog. Evenzo is ook de omtrekshoek vanuit $(0, y)$ gelijk aan de halve middelpuntshoek. Daarmee is het bewijs rond.