Heel veel dingen in de wiskunde komen door toeval

Heel veel dingen in de wiskunde komen door toeval

[OOO]

Wiskunde je hele leven doen, hoe zou dat zijn? Rob Tijdeman is emeritus professor aan de Universiteit van Leiden na een carrière waarin hij onderzoek deed in de getaltheorie en de discrete tomografie. Professor Tijdeman, die overigens abonnee is van Pythagoras sinds het begin van het tijdschrift, vertelde ons over zijn carrière als wiskundige, de ontwikkelingen die hij heeft meegemaakt in de wiskunde, en de rol ervan in de maatschappij.

Rob Tijdeman studeerde wiskunde en promoveerde daarna in 1969 aan de Universiteit van Amsterdam op een proefschrift in de complexe analyse. Voor zijn promotie had hij in Boedapest een jaar onderzoek gedaan. Hierna ging hij een jaar naar het Institute of Advanced Study te Princeton om daar verder te gaan met onderzoek in de getaltheorie. Tijdens zijn verblijf werd hij benoemd tot lector aan de Rijksuniversiteit Leiden.

Hij werd bekend met zijn bijdrage aan een belangrijk probleem uit de getaltheorie, het vermoeden van Catalan. Hij herinnert zich hoe hij destijds een belangrijk ingrediënt van zijn bewijs bedacht had. "In 1974 was ik op vakantie in Spanje. Toen ik in de badkamer van mijn hotel stond had ik plotseling een ingeving. Ik zag hoe ik een methode die ik in Princeton had geleerd van een Indiase hoogleraar kon gebruiken om te bewijzen dat er maar eindig veel oplossingen zijn voor dit vermoeden". 

Eugène Charles Catalan, 19e eeuwse Belgische wiskundige (1814-1894)Het vermoeden van Catalan werd opgesteld in 1844 door de Belgische wiskundige Eugène Charles Catalan. Het vermoeden gaat over twee machten van natuurlijke getallen. Is het mogelijk dat machten van twee getallen elkaar direct opvolgen? Een voorbeeld hiervan is $2^3 = 8$ en $3^2 = 9$. Maar zijn er ook andere positieve gehele getallen waarvoor dit geldt?

Catalan vermoedde dat 8 en 9 de enige twee machten zijn waarvoor dit geldt. Rob Tijdeman bewees in 1974 dat er maar eindig veel oplossingen zijn voor dit probleem. Deze Stelling van Tijdeman gaf Preda Mihailescu het benodigde voorzetje voor het bewijs van het vermoeden van Catalan: de Roemeense wiskundige bewees in 2002 dat $8$ en $9$ daadwerkelijk de enige twee opeenvolgende machten zijn.

In 1975 werd Tijdemans lectoraat omgezet in een hoogleraarschap. Als je onderzoek doet is het vaak gebruikelijk om met andere wiskundigen van over de hele wereld samen te werken. Rob Tijdeman werkte samen met wiskundigen in veel landen. Hij heeft ook samengewerkt met Paul Erdős en heeft als enige nog levende Nederlander een Erdősgetal van 1.

Paul Erdős had een erg fanatieke werkwijze; hij stond erom bekend dat hij uit zijn koffer leefde en de wereld afreisde om van universiteit naar universiteit te gaan en voor een tijdje te werken aan een probleem, waarna hij weer verder ging. Hierdoor heeft hij enorm veel artikelen geschreven in verschillende deelgebieden van de wiskunde. Er bestaat het Erdősgetal, wat aangeeft hoe nauw verbonden je bent met Erdős. Als je Erdősgetal 1 hebt dan heb je een gezamenlijke publicatie met hem, met Erdősgetal 2 heb je een gezamenlijke publicatie met iemand die een gezamenlijke publicatie met Erdős heeft, enzovoort.

Tijdens zijn loopbaan als wiskundige heeft hij naast doorbrekend onderzoek ook verschillende posities bekleed binnen de wiskunde. Hij is bijvoorbeeld voorzitter geweest van de Akademieraad Voor Wiskunde van de KNAW en in 2008 werd hij Ridder in de Orde van Nederlandse Leeuw. Maar één van de meest bijzondere ervaringen was toen hij een eredoctoraat toegekend kreeg in Debrecen, Hongarije. Die onderscheiding omschrijft Tijdeman als "een ongelooflijk indrukwekkende
gelegenheid". Tijdens deze ruim twee uur durende bijeenkomst gaf hij eerst in het Engels en daarna in het Hongaars een toespraak aan alle 600 studenten en hun families, waarna hij het compliment kreeg dat zijn Hongaars beter was dan het Engels van de rector!

Vanaf de jaren 90 deed Rob Tijdeman naast getaltheorie ook discrete tomografie. Discrete tomografie is de vertakking van de wiskunde met als doel methodes te ontwikkelen om informatie te halen uit scans zoals PET-, CT- en MRI-scans. Deze scans zijn in feite projecties van een driedimensionaal object, van het brein bijvoorbeeld, op een plaatje. Soms kun je niet te veel scannen omdat anders het object zou beschadigen. Gegeven een aantal van deze plaatjes, hoe kun je hier betrouwbare informatie uit halen over het oorspronkelijke object? Discrete tomografie bouwt voort op lineaire algebra en er zitten leuke combinatorische problemen in. Net als bij wiskunde op de middelbare heb je een aantal lineaire vergelijkingen waar je de onbekenden moet vinden. Rob Tijdeman doet tot op de dag van vandaag onderzoek naar de structuur van deze vergelijkingen en de bijbehorende oplossingen.

Het lijkt een beetje een gekke sprong, van de getaltheorie naar de discrete tomografie. Dit kwam doordat een hoogleraar uit Parijs hem persoonlijk uitnodigde voor een conferentie. De conferentie bleek over discrete tomografie te gaan en als je al naar de conferentie gaat, "dan wil je ook snappen waar het over gaat, en zo ben ik het vakgebied ingerold". Het werkt vaak zo in de wiskunde. "Heel veel dingen in de wiskunde berusten op toeval."

Tijdeman beleeft nog steeds veel plezier aan het samenwerken met jonge wiskundigen aan problemen in de discrete tomografie. Als emeritus hoogleraar kun je als gastmedewerker doorgaan met je onderzoek. Hij heeft tijdens zijn loopbaan ook gezien hoe wiskunde is veranderd in de loop der jaren, bijvoorbeeld door de komst van de computer. Vroeger kwamen veel van de problemen uit de natuurkunde en scheikunde, nu veelal uit de informatica en kunstmatige intelligentie. "Soms vragen scholieren wel eens of de wiskunde al 'af' is en of er nog wel nieuwe dingen te ontdekken zijn. De praktijk is dat elke oplossing weer nieuwe vragen oproept en de wiskunde nooit klaar is. Het leuke van wiskunde is dat het niet alleen boeiend, maar ook nuttig is. In de woorden van wiskundige Lex Schrijver: 'Wiskunde is net zuurstof, je merkt het pas als het niet meer werkt.' Onze maatschappij wordt steeds meer gedreven door technologie, en daar speelt wiskunde een belangrijke rol in. Denk maar aan je mobiel! De ontwikkelingen gaan intussen zo snel dat de maatschappij het bijna niet kan bijbenen. Daarom is het voor jonge wiskundigen belangrijk dat ze een ethisch besef hebben, vooral als ze bezig zijn met toepassingen van de wiskunde in de maatschappij." Graag wil hij aan de jonge generatie wiskundigen meegeven om "te proberen een evenwicht te vinden tussen de dingen die je wilt doen en de dingen die je moet doen." Je kan en mag in de wiskunde ook smaak ontwikkelen, en naar je intuïtie luisteren!