Lang geleden zag ik een puzzel probleem met de naam Jan de Melkboer. Jan verkocht melk op de markt en had een melkbus van $40$ liter helemaal vol met melk nog zo één waar ongeveer $20$ liter melk in zat. Normaal gesproken kwamen zijn klanten met een kan van $1$ of $2$ liter die ze vol melk wilde hebben. Op een bijzondere dag kwamen twee klanten samen. Klant A had een kan van $5$ liter en klant B had een kan van $4$ liter en ze wilden beiden $2$ liter melk naar huis nemen. Dit is een typische ingeklede wiskundevraag die zich voordoet als een praktisch probleem. Sommige mensen vinden zoiets grappig en storen zich er verder niet aan. Andere mensen vinden zoiets vals en irritant. Jan zelf vond het een mooie uitdaging en wilde de oplossing precies bereiken door met de $4$ en $5$ liter kannen over en weer te schenken. Iedere keer moest óf een kan helemaal volgeschonken worden óf helemaal leeg Het duurde even maar het was een mooie dag en iedereen bleef geduldig. Laten we $A$ de inhoud van de kan van klant A noemen, en $B$ die van klant B. Dan noemen we de inhoud van Jans volle kan $C$ en de halfvolle heeft inhoud $D$. De beginsituatie was dus $A = 0$, $B = 0$, $C = 40$ en $D \approx 20$. De oplossing is bereikt als $A = 2$ en $B = 2$.

Bij het horen van zo'n probleem willen sommige mensen met de deur in huis vallen en de oplossing zoeken. Deze mensen kunnen beginnen. Hieronder is een begin gemaakt.

$\color{white}{kan}$	$\color{white}{A}$	$\color{white}{B}$	$\color{white}{C}$	$\color{white}{D}$
beginsituatie	$0$	$0$	$40$	$20$
schenk $B$ vol uit $C$	$0$	$4$	$36$	$20$
schenk $B$ leeg in $A$	$4$	$0$	$36$	$20$
schenk $B$ vol uit $C$	$4$	$4$	$32$	$20$
schenk $A$ vol uit $B$	$5$	$3$	$32$	$20$
schenk $A$ leeg in $C$	$0$	$3$	$37$	$20$

Andere mensen zien het probleem als een voorbeeld en zoeken meer algemene oplossing. In wat hier volgt heeft klant A een kan van $5$ liter en klant B een kan van $4$ liter. Hier zijn een paar gedachten:

1. Schep steeds waar mogelijk met de kan van $4$ liter in de kan van $5$ liter en als die vol is maak hem dan weer leeg in kan $C$. Zodoende kunnen de standen $A = 4$, $B = 0$ en dan $A = 3$, $B = 0$ en dan $A = 2$, $B = 0$ en dan $A = 1$, $B = 0$ en dan $A = 0$, $B = 0$ bereikt worden. Kan $D$ is helemaal niet nodig in deze voorbeelden.
2. Wat zijn de standen in kan $C$ die corresponderen met de standen in kan $A$ boven? Deze standen kunnen ook benoemd worden met negatieve getallen die aangeven hoe groot de lege ruimte is in kan $C$. Deze lege ruimtes kunnen ook handig zijn.
3. De getallen 4 en 5 liggen naast elkaar. Dit veroorzaakt de makkelijke volgorde van de standen in kan $A$.
4. De getallen 4 en 5 zijn ook relatief priem en dit zorgt voor het feit dat de cyclus van waarden van $A$ compleet is voordat herhaling plaatsvindt.
5. Nu is $A = 2$ en $B = 2$ te bereiken met één keer schenken van kan $D$.
6. $A = 1$ en $B = 2$ is mogelijk met schenken van en naar kan $D$. Hier zijn de melk en de lege ruimte in kan $D$ gebruikt.

Stel nu dat klant A een lege kan heeft met een inhoud van $11$ liter en klant B een lege kan met een inhoud van $7$ liter en klant A wil $6$ liter melk en klant B wil $4$ liter melk. Jan is al met pensioen en heeft dus tijd om deze puzzel op papier op te lossen. Hoe doet hij dit en hoeveel stappen waren er nodig?

		Denk aan de melk die in kan $A$ komt, weggaat uit kan $A$ en in kan $A$ blijft zitten. Eerst komt $4$ liter binnen, geen melk gaat weg, en $4$ liter blijft zitten. Vervolgens komt de tweede $4$ liter binnen in twee etappes van $1$ en $3$ liter en tussendoor gaat $5$ liter weg en wat blijft is $3$ liter. Deze eerste twee stappen geven de vergelijkingen $4 \times 1 = 5 \times 0 + 4$ en $4 \times 2 = 5 \times 1 + 3$. Stel nu dat op twee verschillende stappen dezelfde hoeveelheid melk overblijft in kan $A$. Dan geldt voor zekere $w$, $x$, $y$ en $z$ met $w \neq y$ dat $4w = 5x + r$ en $4y = 5z + r$ met als gevolg dat $4(w - y) = 5(x - z)$. Dan moet $(w - y)$ een veelvoud van $5$ zijn en de cyclus van waarden van kan $A$ compleet worden.