Dit jaar zijn de covers niet-herhalende vlakvullingen. Op deze plaats tref je een uitleg aan bij de covers.

Omslag 63-6, juni 2024: driehoeken, vijfhoeken en sterren

Opnieuw (zie Pythagoras 63-5) heb ik gekozen voor een substitutie. Ik had het eenvoudig kunnen houden door de volgende substitutie uit te voeren:

Hier ben ik uitgegaan van twee gelijkbenige driehoeken, met een scherpe driehoek met hoeken van $36^{\rm o}$, $72^{\rm o}$ en $72^{\rm o}$, en een stompe driehoek met hoeken van  $36^{\rm o}$, $36^{\rm o}$ en $108^{\rm o}$.

Met als resultaat:

Maar dat is wel een beetje saai voor een cover. Ik wilde een regelmatige vijfhoek en een regelmatige vijfpuntige ster in het plaatje verwerken. Ik kwam er snel achter dat dat lukte met de volgende substituties:

Maar ik merkte dat als je keer op keer deze substituties uitvoert er een heel scala aan figuren gaat ontstaan van verschillende groottes. De oplossing vond ik door af en toe een vorm ongewijzigd te houden. Het nieuwe schema zag er als volgt uit:

Hiermee lukte het om de cover te maken.In de cover kunnen de verschillende figuren in twee verschillende afmetingen voorkomen. Als je nog een aantal stappen verder gaat dan komen figuren in zelfs drie verschillende afmetingen voor. Dat is niet de bedoeling. In feite kun je dit handmatig aanpassen, maar dat is een hele klus. Maar het moet ook mogelijk zijn om het begin (de initialisatie) iets aan te passen. Dat is mij nog niet gelukt. Dat is ook niet een probleem, want het huidige resultaat mag er zijn! 

Je kunt op de cover de volgende vormen tegenkomen:

Vanuit de tienpuntige ster rechts in het midden kun je 10 scherpe driehoeken herkennen. Hieronder is er één uitgelicht (hij past nét niet helemaal op de plaat).

Als we daarop inzoomen kun je de volgende opdelingen vinden:

De laatste twee stappen nog wat verder ingezoomd:

Omslag 63-5, april 2024: Heel veel pentomino’s

Hier wordt een voorbeeld van de substitutieregel getoond. We beginnen met een pentomino (een figuur dat bestaat aan 5 aaneengesloten vierkantjes. De regels staan hieronder. Elke keer vervang je elke pentomino door een set kleinere pentomino’s volgens deze regels. Er valt eenvoudig te bewijzen dat het resultaat een vlakvulling oplevert, die op geen enkele manier regelmatig is.

 

Omslag 63-4, februari 2024: Einstein voorzien van een fraai motief

De omslag laat exact dezelfde einsteins zien als de voorafgaande omslagen. Maar nu zijn de einsteins allemaal op dezelfde manier bedrukt. Hiernaast staat hoe de Einstein is bedrukt met een aantal gekleurde cirkelbogen. Er kan naar eigen believen enorm worden gevarieerd op dit thema. En stuk voor stuk zijn de resultaten prachtig!

Omslag 63-3, januari 2024: Einstein en de hoed, in groepjes

In het artikel dat hierboven wordt genoemd staat ook een beschrijving hoe je kunt komen tot een vlakvulling. Dat is een iteratief (herhalend) proces. De eerste stap is dat je steeds 7 of 8 Einstens samen brengt. Vervolgens neem je steeds 6 of 7 van die groepen samen en vorm je grotere groepen. En hier begint de iteratie. Steeds opnieuw neem je 6 of zeven van die groepen samen om te komen tot grotere groepen Einsteins.

Op de omslag is uitsluitend de eerste stap uitgevoerd. De verschillende groepen zijn steeds wit, grijs of zwart gekleurd, met uitzondering van een rode Einstein in het midden. Deze rode Einsteins zijn steeds het spiegelbeeld van de overige einsteins.

Omslag 63-2, november 2023: Einstein en de hoed

De tweede vlakvulling is van David Smith. Hij schreef hier vervolgens een artikel over samen met Craig S. Kaplan, Joseph Samuel Myers en Chaim Goodman-Strauss. David Smith is een hobbiist die al jaren op zoek was naar een enkel figuur waarmee hij een vlakvulling zou kunnen maken. En dan niet zo maar een willekeurige vlakvulling, maar een onregelmatige (zie de toelichting hierboven bij Omslag 63-1). Hij is trouwens niet de eerste die daarin is geslaagd. Al in 1988 bedacht Peter Schmitt een enkel figuur waarmee een onregelmatige vlakvulling gerealiseerd kon worden. Maar het figuur van Peter Schmitt bestond uit meerdere stukken. Daarna werd het doel om een figuur te vinden dat samenhangend zou zijn (dat wil zeggen dat het bestaat uit een aaneengesloten oppervlak). Precies dat realiseerde David Smith. De term Einstein moet je letterlijk nemen: "ein Stein", in het Duits. Dat was de verkorte beschrijving van de uitdaging. Het heeft helemaal niets te maken met Albert Einstein. De vorm doet erg veel denken aan een hoed.

Omslag 63-1, september 2023

De eerste vlakvulling is ontworpen door de wis- en natuurkundige Roger Penrose (zie nl.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose). Deze bestaat uit twee verschillende ruiten: enerzijds de witte en de donkerblauwe en anderzijds de rode en de lichtblauwe. Voordat hij zich bezig hield met onregelmatige vlakvullingen hadden onderzoekers al gekeken naar vlakvullingen die met een beperkt aantal (puzzel)stukjes gevuld kunnen worden, maar waarbij het bewezen kan worden dat dat nooit op een regelmatige manier kan.