Op z'n Borromeaans - deel 5

Op z'n Borromeaans - deel 5

[OOO]

Is het wiskunde? Is het kunst? Is het allebei: wiskunst? Op z'n Borromeaans leidt in ieder geval tot intrigerende en vaak fraaie objecten!

Figuur 1
Figuur 1 - De oplossingen van opgave 1 uit deel 4

Hier weer twee complexe drietallen die veel overeenkomst vertonen met de ontwerpen van Koos Verhoeff uit deel 4. Beide zijn samengesteld uit twee bekende congruente ruimtelijke twaalfhoeken (zie deel 3) en een ruimtelijke achttienhoek. Die achttienhoek (rood in figuur 1A en zwart in figuur 1B) is niet congruent aan de achttienhoeken in het ontwerp van Koos Verhoeff uit deel 4.

De ruimtelijke twaalfhoeken zijn twee aan twee weergegeven in de figuren 2B en 2C. Die van figuur 2B zijn samengesteld uit 12 even lange balkjes die onder een hoek van 45° van een vierkante balk zijn afgezaagd. Voor die van figuur 2C geldt hetzelfde, maar de vierkante balk is voor het afzagen over een hoek van 45° gekanteld. Merk op hoe de twee twaalfhoeken van 2B en 2C ten opzichte van elkaar liggen.

Figuur 2
Figuur 2​​​​​​

Ze hebben als het ware een boven- en een onderkant. Voor het object van figuur 1A wordt de crèmekleurige twaalfhoek van 2B op de blauwe gelegd, zie 2A. Voor het drietal van 1B gebeurt hetzelfde met de twaalfhoeken van figuur 2C, de oranje op de rode.

Figuur 3
Figuur 3

Tussen de op elkaar liggende twaalfhoeken van de figuren 2A en 2D zitten ruimtes waardoor precies een balkje past. Bij 2A sluit dat dan nauw aan. Bij 2D past het ook precies, maar vanwege de 45° kanteling voor het afzagen zit dat wat luchtiger in elkaar. Echter wel strak! Om vanuit figuur 2A naar 1A te komen moeten de onderdelen van de rode achttienhoek er stukje voor stukje doorheen worden gevlochten en aan elkaar gelijmd (figuur 4A). Steeds moeten de rode balkjes bij de crèmekleurige twaalfhoek voorlangs gaan en bij de blauwe juist achterlangs. Hetzelfde geldt voor de zwarte achttienhoek om van figuur 2D naar 1B te komen (figuur 4B en 4C). De zwarte balkjes moeten bij de rode twaalfhoek achterlangs en bij de oranje juist voorlangs. Het behoeft nu waarschijnlijk geen betoog dat de beide drietallen 1A en 1B Borromeaans zijn. Verwijder in gedachten een willekeurig element en dan liggen de andere twee van het drietal volledig vrij.

 

Opgave 1

Beschrijf hoe uit de twee onderdelen van figuur 3A figuur 3B wordt verkregen. Daar is de ongekleurde twaalfhoek namelijk niet zomaar op de rode gelegd.

 
Figuur 4
Figuur 4

Dan nog dit

Ook van deze objecten is de omhullende een denkbeeldige gelijkzijdige driehoek. Alle twee kunnen verticaal staan op een van de denkbeeldige zijden van die omhullende driehoek, zoals figuur 5 bij het object van figuur 1B toont.

De afzonderlijke elementen waaruit de drietallen van figuur 1 zijn samengesteld, zijn rotatiesymmetrisch om een drietallige as loodrecht door hun middelpunten. Helemaal verwonderlijk is het dan ook niet dat de beide objecten ook een drietallige rotatie-as bezitten loodrecht door het midden van de denkbeeldige omhullende gelijkzijdige driehoek. Dit gaat zonder meer op, of die samenstellende onderdelen van deze Borromeaanse drietallen verschillend gekleurd zijn of niet.

Figuur 5
Figuur 5