Pythagoras Olympiade 55-5, april 2016

Opgave 330 [niveau oOO]

Hieronder zie je een logo dat een mediabedrijf groot op een muur wil laten verven. De straal van elke cirkel is 1 meter. Hoeveel vierkante meter roze verf is er nodig?

Opgave 331 [niveau oOO]

Leg een aantal munten op een rij, allemaal met ‘kop’ naar boven. Draai van links naar rechts eerst 1, dan 2, dan 3, enzovoort, munten om (dit zijn de zetten). Je begint steeds met de volgende munt na de laatst omgedraaide om een volgende zet te doen. Als je aan het eind van de muntenrij bent aangekomen, ga je gewoon verder aan het begin van de rij. Hiernaast zie je de eerste zeven zetten in het geval de rij uit twee munten bestaat (met een pijltje is de laatst omgedraaide munt van de zet aangegeven). Je ziet: na deze zeven zetten liggen alle munten weer met ‘kop’ boven.

  1. In hoeveel zetten liggen alle munten weer met ‘kop’ boven, als je start met 1, 3, 4 of 5 munten?
  2. Bereik je met elk aantal munten op een gegeven moment weer de situatie dat alle munten met ‘kop’ boven liggen?

 

Opgave 332 [niveau ooO]

Gegeven zijn drie gehele getallen $a, b$ en $c$ met de volgende eigenschap: het verschil van twee van deze getallen is deelbaar door het derde. Bijvoorbeeld de getallen $2, –3$ en $5$ voldoen hieraan: het verschil van $2$ en $–3$ is $5$ (en dat is deelbaar door $5$), het verschil van $2$ en $5$ is $3$ (en dat is deelbaar door $–3$) en het verschil van $–3$ en $5$ is $8$ (en dat is deelbaar door $2$).

  1. Bewijs dat $a, b$ en $c$ niet allemaal positief kunnen zijn.
  2. Veronderstel nu verder dat a, b en c ook geen gemeenschappelijke factoren hebben (behalve natuurlijk $1$ en $–1$). Is het waar dat één van de drie getallen gelijk moet zijn aan $1$, of $2$, of $–1$, of $–2$?

     

Opgave 333 [niveau ooO]

In een 5 × 5-bord staat in ieder hokje een lampje. De lampjes hebben de kleuren groen, blauw en rood. Aan iedere rij en kolom is een knopje verbonden. Bij het indrukken vanhet knopje dat bij een rij hoort, worden alle groene lampjes in die rij blauw, alle blauwe lampjes worden rood en alle rode lampjes groen. Is het vanuit iedere startpositie mogelijk om een kleur volledig van het bord te elimineren?

 

Bekijk oplossing