De hoofdeigenschap die deze drietallen hebben is dat ze een rekenkundige rij kunnen vormen. Een rekenkundige rij is een rij waarin elk volgend getal een vaste waarde hoger (of lager) ligt. Voorbeelden: de stijgende rekenkundige rijtjes $1-2-3$ en $2-4-6$, maar ook het dalende $8-5-2$. Maar de volgorde waarin zulke rekenkundige rijtjes aanwezig zijn mag ook anders zijn. Komen we in de cirkel, linksom of rechtsom lezend, het drietal $3-1-2$ tegen, dan mogen we dat opvatten als $1-2-3$ en vormt dus een rekenkundige rij. 

We gaan eerst een rekenkundige drietalcirkel met de cijfers $1$ tot en met $9$ zoeken. We geven hieronder ook nog aanwijzingen om zo'n rekenkundige drietalcirkel te vinden. Het fraaie van deze puzzel is dat er een unieke oplossing bestaat, op spiegeling na. De gezochte 'cirkelinvulling' kan je namelijk op twee manieren lezen: rechtsom of linksom. In feite zijn dat twee uitingen van dezelfde oplossing. In figuur 1 staat een zeer voor de hand liggend voorbeeld, dat je misschien zelf ook wel als eerste invulling zou willen proberen.

[--- Figuur 1 ---]

Zeven drietallen zijn goed (we laten de streepjes tussen de getallen vanaf hier maar  even weg): $123$, $234$, $345$, $456$, $567$, $678$ en $789$ zijn allemaal rekenkundige rijtjes. Maar de laatste twee niet: $891$ en $912$, ook niet toegestaan opgevat als $189$, $129$ of nog andere volgorden. 

Welke rekenkundige rijtjes zijn er eigenlijk mogelijk met steeds drie ongelijke cijfers $1$ tot en met $9$? Er zijn zestien 'basisdrietallen'. Gesorteerd naar het kleinste cijfer daarin zijn het:

$\color{white}{1}$	$123$	$135$	$\textit{147}$	$159$
$\color{white}{2}$	$234$	$246$	$\textit{258}$
$\color{white}{3}$	$345$	$357$	$\textit{369}$
$\color{white}{4}$	$456$	$468$
$\color{white}{5}$	$567$	$579$
$\color{white}{6}$	$678$
$\color{white}{7}$	$789$

Er vallen echter een paar drietallen af. De schuin gedrukte rijtjes $147$, $258$ en $369$ (en ook hun permutaties) kunnen nooit in een rekenkundige drietalcirkel voorkomen. Ga maar na voor $147$: er zijn geen andere rekenkundige rijtjes beschikbaar voor $14$, $17$ en $47$. 

Van de dertien overblijvende rijtjes zijn alle permutaties (verwisselingen) mogelijk. In totaal zijn er dus $13\times 3 = 39$ drietallen mogelijk. Dat kunnen we ook zien als we een tabel maken voor alle mogelijke tweetallen (met het kleinste cijfer eerst). Daarachter staat een frequentietabel voor elk cijfer zelf.

Nu hebben we een systematische methode nodig die alle mogelijkheden voor een Rekenkundige drietalcirkel onderzoekt. Dat kan de volgende zijn.

1. Neem een cijfer dat het minst voorkomt, bijvoorbeeld $1$ (ook $2$, $8$ en $9$ hebben frequentie $3$; zie het rechterdeel van de tabel, de frequentieverdeling van de cijfers $1$ tot en met $9$) en kies een bijbehorend basisdrietal, bijvoorbeeld $123$.
2. Schrijf de drie soorten permutaties waar de $1$ in voorkomt op: $\underline{123}$, $\underline{132}$ en $\underline{312}$. 
   (NB: de andere drie permutaties hoeven niet; die kun je ook, lezend in tegengestelde richting, vinden!)
3. Vul elk van die drie drietallen aan met mogelijke getallen/cijfers en kijk daarbij hoeveel mogelijkheden voor tweetallen er zijn (in de 'tweetallentabel'). Bijvoorbeeld: 
   1. Er is steeds maar één aanvulling naar rechts mogelijk (na '$23$' moet een $4$ komen): $\underline{123}456789$. geen oplossing; zie boven.
   2. $\underline{312}$: geen aanvulling na '$12$' mogelijk, want $12$ komt maar één keer voor.
   3. Na $\underline{132}46$ zijn er twee mogelijkheden: $\underline{132}465$ en $\underline{132}468$. Dus: $\underline{132}4657$. Twee mogelijkheden: $\underline{132}46573$ (kan niet: $3$ is al geweest) en $\underline{132}465798$: geen oplossing. $\underline{132}4687951$: kan niet $1$ al gehad.

Zo doorgaand kunnen we de Rekenkundige drietalcirkel vinden.

	$\color{\white}{1}$	$\color{\white}{2}$	$\color{\white}{3}$	$\color{\white}{4}$	$\color{\white}{5}$	$\color{\white}{6}$	$\color{\white}{7}$	$\color{\white}{8}$	$\color{\white}{9}$		$\color{\white}{x}$	$\color{\white}{f}$
$\color{\white}{1}$		$1$	$2$	$0$	$2$	$0$	$0$	$0$	$1$		$\color{\white}{1}$	$3$
$\color{\white}{2}$			$2$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$		$\color{\white}{2}$	$3$
$\color{\white}{3}$				$2$	$3$	$0$	$1$	$0$	$0$		$\color{\white}{3}$	$5$
$\color{\white}{4}$					$2$	$3$	$0$	$1$	$0$		$\color{\white}{4}$	$5$
$\color{\white}{5}$						$2$	$3$	$0$	$2$		$\color{\white}{5}$	$7$
$\color{\white}{6}$							$2$	$2$	$0$		$\color{\white}{6}$	$5$
$\color{\white}{7}$								$2$	$2$		$\color{\white}{7}$	$5$
$\color{\white}{8}$									$1$		$\color{\white}{8}$	$3$
$\color{\white}{9}$											$\color{\white}{9}$	$3$

 

Opgave 1 Plaats de cijfers $1$ tot en met $9$ in een cirkel, zodanig dat elk aangrenzend drietal – dat naar believen van volgorde mag wisselen − een rekenkundige rij vormt.

 

Opgave 2 Laat zien dat er geen rekenkundige drietalcirkel mogelijk is met de cijfers $1$ tot en met $8$.

 

Opgave 3 dVind de unieke rekenkundige drietalcirkel met cijfers $0$ tot en met $8$.

We kunnen naast rekenkundige rijtjes ook meetkundige rijtjes toestaan. De getallen uit een meetkundige rij worden steeds met een vast getal (de 'reden') vermenigvuldigd. Voorbeelden: $124$ en $139$ (en natuurlijk hun permutaties $214$, $421$, $913$ enzovoort). We noemen een drietalcirkel waarin zowel rekenkundige rijtjes (RR) als meetkundige rijtjes (MR) vanaf hier een 'RR/MR-drietalcirkel'.

Opgave 4 Vind de unieke RR/MR-drietalcirkel met de cijfers $1$ tot en met $8$.

 

Opgave 5 Onderzoek of er een RR/MR-drietalcirkel met de cijfers $1$ tot en met $9$ mogelijk is.

 

Opgave 6 Vind de rekenkundige drietalcirkel met twaalf getallen gekozen uit $1$ t/m $13$.

 

Opgave 1 is eerder gepubliceerd in het boek Denkstof (2024). Opgave 4 zal gepubliceerd worden in Denkgoed, dat uitkomt op 13 november 2026.