Houdt u van een beetje melk in uw koffie, of bent u een van die mensen die graag een beetje koffie in hun melk hebben?

Voor je staat een pot koffie en een kan met melk. Je doet een koffielepel melk uit de kan in de pot en vervolgens een koffielepel van het mengsel uit de pot terug in de kan. Is er nu meer koffie in de (melk)kan of meer melk in de (koffie)pot? Let op: we hebben niet gezegd of er geroerd of gemengd is, of hoe grondig dat eventueel is gebeurd, en we suggereren ook niet dat je een van beide mengsels drinkt. Voor het gemak negeren we mogelijke chemische interacties.

Munten 

Als je het antwoord op deze vraag weet, probeer dan de volgende caféweddenschap eens. Vraag een vriend om al zijn of haar kleingeld tevoorschijn te halen. Er vallen allerlei munten op tafel. 

Kondig aan dat je vriend je over 10 seconden mag blinddoeken en de munten door elkaar mag schudden door ze over de tafel te bewegen. Je wedt dat je, zonder ze te kunnen zien, in staat bent om ze in twee groepen te verdelen, waarbij elke groep hetzelfde aantal munten heeft met de muntzijde boven. Als je daarin slaagt, betaalt je vriend je volgende drankje, en als het niet lukt, dan betaal jij dat van hem. 

Wat doe je in die 10 seconden? Je mag kijken, maar niet aanraken.

Water en wijn 

Als je wat meer tijd hebt en een geduldig publiek, probeer dan het volgende. Leg 15 kaartjes, aan beide kanten blanco, en een stift op tafel. Vraag een toeschouwer om een aantal kaartjes aan te wijzen waarop je het woord 'wijn' moet schrijven, en schrijf dan zelf op de andere kaartjes het woord 'water'. Spreid de kaartjes uit en laat een foto maken van het resultaat.

Je wordt vijf minuten alleen gelaten, terwijl je publiek koffie gaat drinken, met of zonder melk. Als iedereen terugkomt, wordt met behulp van de foto gecontroleerd dat de kaartjes er nog precies hetzelfde uitzien als daarvoor. Je wordt geblinddoekt of je moet je ogen dichthouden, en de kaartjes worden door elkaar geschud (op dezelfde manier als de munten, dus door ze te verschuiven op de tafel). Zonder ze te kunnen zien, moet je de kaartjes vervolgens in twee groepen verdelen, zodanig dat elke groep hetzelfde aantal kaartjes bevat waarop 'wijn' te lezen is. 

Wat doe je in die vijf minuten om dit voor elkaar te krijgen? De kaartjes plooien of buigen is geen optie; de kaartjes moeten vlak blijven en in het donker onderling niet te onderscheiden zijn. Als je op zeven (of een oneven aantal) kaartjes 'wijn' hebt geschreven, op vraag van de toeschouwer, lijkt het probleem onoverkomelijk. En het lijkt niet makkelijker als je begint met acht of tien 'wijn'-kaartjes, aangezien je niet kunt zien wat er gebeurt.

Terug naar de koffie

De oplossing van het raadsel met de melk en de koffie biedt het inzicht dat nodig is om de twee problemen die er op volgen op te lossen! In een andere versie heb je een grote pot met zwarte knikkers en een kleinere pot met witte knikkers nodig. 

Doe vier knikkers uit de kleinere pot in de grotere pot, meng ze eventueel een beetje met de zwarte knikkers en neem daarna vier willekeurige knikkers uit de grote pot en gooi ze in de kleine. Zijn er nu meer witte knikkers in de grote pot dan zwarte knikkers in de kleine pot, of andersom? 

Deze vraag klinkt redelijk, maar laat u niet misleiden; het is een suggestieve vraag. Er is een derde optie die niet wordt genoemd, maar die uiteindelijk de doorslag geeft. In feite is het aantal witte knikkers in de grote pot hetzelfde als het aantal zwarte knikkers in de kleine pot, en dat hangt niet af van hoeveel witte knikkers er in de tweede stap terug in de kleinere pot zijn gedaan! 

Je kan dit eenvoudig nagaan door elk van de vijf mogelijke gevallen te bekijken (nul, één, twee, drie of vier witte knikkers bij de vier die teruggeplaatst werden), maar er is een slimmere manier. Merk eerst op dat, omdat er elke keer vier knikkers zijn verplaatst, de twee potten uiteindelijk hetzelfde aantal knikkers bevatten als oorspronkelijk. Het aantal "verontreinigende" witte knikkers in de grote pot aan het einde heeft dus een gelijk aantal zwarte knikkers verdrongen, die zich nu in de kleinere pot moeten bevinden. 

Dezelfde logica geldt voor het probleem met de melk en de koffie. Welk deel van een koffielepel melk ook in de koffiepot terechtkomt, het heeft een gelijke hoeveelheid koffie verdrongen, die zich alleen in de melkkan kan bevinden. Vergeet boekhouden op moleculair niveau! Elementair, mijn beste Watson.

Ook is de relatieve inhoud van de potten niet relevant. Soms worden deze problemen gepresenteerd in een scenario waarbij beide potten dezelfde afmetingen hebben, maar dat kan beter worden vermeden, zoals de volgende anekdote bevestigt.

Nog een kaarttruC 

De ontbrekende schakel tussen deze raadsels en die met de munten en kaartjes is een bekende kaarttruc die een vriend ongeveer 15 jaar geleden voor mij deed in een bar. Bill verdeelde een kaartspel in twee gelijke delen. Daarna draaide hij één van beide helften om en schudde de speelkaarten op zo'n manier door elkaar dat precies de helft van de kaarten met de beeldzijde naar boven lag. Vervolgens hield hij het kaartspel onder de tafel en haalde toen twee stapels kaarten tevoorschijn, waarna hij mij liet controleren of ze allebei hetzelfde aantal kaarten met de beeldzijde naar boven bevatten. Dat was inderdaad het geval. Maar dat aantal kaarten kwam in beide gevallen uit op 11, wat dus een totaal van slechts 22 kaarten met de beeldzijde boven gaf, dus ik wist dat er iets transformatiefs moest zijn gebeurd. 

(Hij had de fout gemaakt om te vermelden dat hij met 26 open kaarten begonnen was. Het kan natuurlijk afhangen van hoeveel je gedronken hebt, maar als je met twee gelijke stapels begint, dan verwacht je wel dat er aan het einde evenveel open als gesloten kaarten zijn.)

De brug naar de oplossingen 

Nu volgt een nog betere manier om het te brengen, een manier die moeilijker te doorgronden is, gebaseerd op Martin Gardners bewerking van de belangrijkste ideeën van Bob Hummer uit de jaren '40. (Martin Gardner was de koning van de popularisering van de wiskunde in de vorige eeuw, vooral bekend door zijn column in de Scientific American. Bob Hummer was een excentriek Amerikaans goochelaar en een vriend van Gardner.) 

Neem een spel kaarten en geef het aan Jane. Vraag haar om ongeveer een derde van de stapel terug te geven. Hou die kaarten onder de tafel en doe alsof je ze "voelt om te wennen aan het verschil tussen de voorkant en de achterkant van de kaarten". Wat je in werkelijkheid doet, is de kaarten tellen! Stel dat het er 16 zijn. Haal de stapel kaarten weer tevoorschijn, draai ze om en schud ze met de beeldzijde naar boven door de rest van de kaarten die je met de rugzijde naar boven houdt. Breng daarna het hele kaartspel onder de tafel en tel in stilte de bovenste 16 kaarten af terwijl je mompelt dat je je gevoelige vingers gebruikt om de kaarten te scheiden (wat ook echt zo is). Breng de twee stapels tevoorschijn en draai de kleinere stapel van 16 kaarten discreet om voordat deze in het zicht komt. Tot verbazing van iedereen blijkt dat beide stapels hetzelfde aantal open kaarten bevatten. 

Zie je hoe dit verband houdt met de puzzels met melk en koffie of knikkers?

Het geheim onthullen 

Het is nu tijd om het geheim te onthullen, als je het nog niet doorhebt: voor de weddenschap met de muntjes tel je in de 10 seconden voordat je geblinddoekt wordt, in stilte het aantal geldstukken met 'munt' boven. 

Op de foto zijn dat er drie van de elf. Zodra je ogen bedekt zijn (of gewoon gesloten) en de munten door elkaar zijn geschud, tik je op de bovenkant ervan en doe je alsof je ze 'voelt'. Concentreer je vervolgens op drie munten en leg ze apart en draai ze dan om! Je kunt dat gewoon in het zicht van iedereen doen of je kan met je handen verbergen wat je precies doet. In elk geval is het resultaat twee groepen munten die gegarandeerd hetzelfde aantal keer 'munt' laten zien. Je hebt de weddenschap gewonnen - en dat welverdiende drankje - ervan uitgaande dat je vriend niet te luid klaagt dat je vals hebt gespeeld. Het is een wonder: munten opgooien mét resultaat.

Waarom werkt het in het algemeen? Een beetje elementaire algebra (slik!) onthult alles: begin met $C$ munten, waarvan $T$ met munt bovenaan en dus $C - T$ met kop boven, meng ze, en verdeel ze als volgt:

• groep $A$, bestaande uit $T$ munten, waarvan een onbekend aantal $X$ kop toont, en de resterende $T - X$ noodzakelijkerwijs munt.
• groep $B$, bestaande uit de overige $C - T$ munten.

Aangezien er in totaal $T$ munten met de muntkant boven liggen, waarvan $T - X$ munten in groep $A$, moeten de overige $T - (T - X) = X$ munten met muntkant boven in groep $B$ liggen. 

Het omdraaien van alle munten van groep $A$ levert dus twee groepen op met hetzelfde (onbekende) aantal munten met de muntkant naar boven.

Terug naar het water en de wijn

Tot slot keren we terug naar de kaartjes. Lees de beschrijving van het probleem nog eens aandachtig door. Je hebt tijd en een pen. Hoe kun je de kaartjes meer op de munten laten lijken? Door 'water' op de achterkant van elk 'wijn'-kaartje te schrijven en 'wijn' op de achterkant van elk 'water'-kaartje! Dat doe je tijdens de vijf minuten dat je alleen bent, waarbij je ervoor zorgt dat je elk kaartje weer op dezelfde plek op tafel teruglegt. Dat is tijd die goed besteed is. 

Als je met zeven 'wijn'-kaartjes bent begonnen, scheid dan na het schudden van de kaartjes gewoon zeven kaartjes van de rest en draai ze om. Beide groepen kaartjes bevatten dan hetzelfde aantal 'wijn'-kaartjes. 

Het is een kwestie van 'wijn' in 'water' veranderen en 'water' in 'wijn', een waar wonder van bijbelse proporties!

Let wel op met weddensChappen 

Als je geneigd bent om nog meer caféweddenschappen te doen, gok dan niet op een eerlijke munt die gemiddeld de helft van de tijd kop oplevert. Je kunt zelfs niet 100 procent zeker zijn dat munten die op een hard oppervlak vallen altijd op kop of munt terechtkomen: ik heb twee keer in mijn leven gezien dat een munt in deze situatie op zijn rand bleef staan!

Colm Mulcahy is professor emeritus van Spelman College, Atlanta, Georgia. Hij staat bekend als een zeer goed wetenschapspopularisator, en ontving hiervoor in oktober 2024 de Maths Week Ireland Award for contributions to raising public awareness of maths. Hij had jarenlang een column op de website van de Mathematical Association of America (MAA), "Card Colm", over wiskundige kaarttrucs. Daar schreef hij ook een boek over.