Opgave 549 [oOO]

Merk op dat we altijd het cijfer $0$ kunnen toevoegen aan de getallen, zonder dat de gevraagde som verandert. We berekenen eerst de som van de cijfers in de getallen van $0$ tot en met $99$. Schrijven we $0 = 00$, $1 = 01$ enzovoorts, dan zien we dat elk cijfer precies $20$ keer voorkomt. De som is voor deze eerste $100$ getallen dus gelijk aan $20(0+1+\dots + 9) = 900$. De situatie is niet veel anders bij de som voor de getallen van $100$ tot en met $199$, behalve dat we $100$ maal het getal $1$ moeten toevoegen. Op soortgelijke wijze vinden we dat de som van de cijfers in de getallen van $1$ tot en met $499$ gelijk is aan $5\times900 + 100 + \dots+ 400 = 5500$. Nu moeten we alleen nog som voor de getallen van $500$ tot en met $549$ vinden. De honderdtallen geven $50\times5 = 250$, de tientallen $10(0+\dots +4) = 100$ en de \'e\'entallen $5(0+\dots+9) = 225$. Tezamen geeft dit het antwoord $5500 + 250+100+225 = 6075$.

Opgave 550 [oOO]

We nemen eerst aan dat $n$ oneven is, zodat we het kunnen schrijven als $n = 2k+1$. Dan vinden we $n = (k+1)^2 - k^2$, zodat al deze getallen voldoen. Als $n$ even is, en we hebben $n = x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, dan moet minstens \'e\'en van de factoren $(x-y)$ of $(x+y)$ ook even zijn. Maar dan is de andere ook even, aangezien hun verschil gelijk is aan $2y$. We concluderen dat $n$ deelbaar moet zijn door $4$. Als dit het geval is, dus als $n = 4k$, dan zien we dat $n = (k+1)^2 - (k-1)^2$. Daarom vinden we dat alle getallen voldoen, behalve degenen die restklasse $2$ modulo $4$ hebben. Er zijn dus precies $\frac{3}{4}\times100= 75$ getallen tussen $1$ en $100$ met de gevraagde eigenschap.

Opgave 551 [ooO]

Merk op dat we twee gelijkzijdige driehoeken kunnen vormen, de \'e\'en met als hoekpunten de twee middelpunten en het bovenste snijpunt van de cirkels, en de ander met de twee middelpunten en het onderste snijpunt. Beide driehoeken hebben zijdes van lengte $6$, zodat ze ieder een oppervlak van $9\sqrt{3}$ hebben. We zien nu ook dat het gevraagde figuur overdekt kan worden met twee cirkel­sectoren van $120^{\circ}$, waarbij we precies de twee bovengenoemde driehoeken tweemaal bedekken. Het oppervlak van de twee cirkel­sectoren is tezamen $2\times \frac{1}{3}\times6^2\times \pi = 24\pi$, en dus is het gevraagde oppervlak gelijk aan $24\pi - 2\times 9\sqrt{3} = 24\pi - 18\sqrt{3}$.

Opgave 552 [ooO]

We merken eerst op dat oneven getallen nooit de gevraagde eigenschap kunnen hebben, aangezien al hun delers ook oneven zijn, terwijl het verschil tussen twee oneven getallen even is. Vervolgens bekijken we machten van $2$, dus $n = 2^\ell$ voor $\ell \geq 1$. Zodra $\ell$ groter is dan $3$, vinden we dat $n$ de echte delers $2$ en $8$ heeft, en dus ook deelbaar moet zijn door $6$. Dit is natuurlijk niet mogelijk voor machten van $2$, en dus hoeven we alleen maar $\ell = 1,2,3$ te controleren. We vinden dat alleen $n = 2^3 = 8$ voldoet. Tot slot bekijken we getallen van de vorm $n = 2^{\ell}k$, waarbij $k \geq 3$ oneven is en met $\ell \geq 1$. 
Nu heeft $n$ de echte delers $2$ en $k$, en moet het dus ook deelbaar zijn door $k-2$. Aangezien $k-2$ oneven is, moet het een deler zijn van $k$, en dus ook van $k -(k-2) = 2$. Daarom is de enige mogelijkheid $k=3$. Als nu $\ell \geq 3$ dan heeft $n$ de echte delers $3$ en $8$, zodat $8-3=5$ ook een deler is. Deze tegenspraak leert dat alleen $n=6$ en $n=12$ nog mogelijk zijn, welke inderdaad allebei voldoen. De getallen met de gevraagde eigenschap zijn dus $6$, $8$ en $12$.