Opgave 569 ^[oOO]

Laat $A, B$ de onderste twee punten zijn en $C, D$ de bovenste twee punten, en laat $S$ het snijpunt van de diagonalen $AC$ en $BD$ zijn. Nu is $\angle ABS = \angle CDS$ en $\angle BAS = \angle DCS$ vanwege Z-hoeken, dus $\triangle ABS \sim \triangle CDS$ (hh). Omdat $|AB|/|CD| = 3$ is dus ook $|AS|/|CS| = 3$ en $|BS|/|DS| = 3$. Omdat alle zijden van $\triangle ABS$ drie keer zo lang zijn als van $\triangle CDS$ is dus ${\rm opp}(\triangle ABS) = 3^2{\rm opp}(\triangle CDS) = 9 \cdot 1 = 9$. Definieer nu $E$ als de projectie van $D$ op $AC$, dan is ${\rm opp}(\triangle ADS) = \frac{1}{2}|AS||DE| = \frac{1}{2}3|CS||DE| = 3{\rm opp}(\triangle CDS) = 3$. Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat ${\rm opp}(\triangle BCS) = 3$. De totale oppervlakte van het trapezium is dus $1 + 3 + 3 + 9 = 16$. 

Opgave 570 ^[oOO]

Voor maandag heeft Bart 4 mogelijke keuzes, namelijk geel, groen, rood en zwart. Vanwege symmetrie heeft hij ongeacht de keuze op de eerste dag altijd evenveel manieren om de week af te maken. Neem voor het gemak aan dat hij op de eerste dag een geel shirt draagt. Indien hij de tweede dag een blauw shirt draagt, dan heeft hij nog twee manieren om de week af te maken (namelijk rood-zwart-groen en zwart-groen-rood). Indien hij op de tweede dag een groen shirt draagt, dan heeft hij drie manieren om de week af te maken, namelijk blauw-zwart-rood, rood-zwart-blauw en zwart-blauw-rood. Indien hij op de tweede dag een rood shirt draagt, dan heeft hij drie manieren om de week af te maken, namelijk blauw-zwart-groen, zwart-blauw-groen en zwart-groen-blauw. En indien hij op de tweede dag een zwart shirt draagt heeft hij ook drie mogelijkheden, namelijk blauw-groen-rood, rood-blauw-groen en rood-groen-blauw. In totaal heeft hij na de eerste dag dus $2+3+3+3=11$ manieren om de week af te maken. In totaal heeft hij dus $4 \cdot 11 = 44$ manieren om zijn week in te vullen. 

Het aantal \textit{permutaties zonder dekpunten} of \textit{derangements} van een gegeven permutatie wordt ook wel de \textit{subfaculteit} genoemd, en genoteerd als $!n$. Zoals we net hebben aangetoond is $!5 = 44$. In het algemeen geldt dat $!n = [n!/e]$, oftewel het gehele getal het dichtste bij $n!/e$ met $e \approx 2,71828$ Euler's constante. 

Opgave 571 ^[oOO]

In beide spellen heeft Awa een winnende strategie. Bij het eerste spel begint Awa met openingszet 1, zodat er $2026 - 1 = 2025$ overblijft. Dit is deelbaar door 3, dus nadat Baswa een tweemacht ervan heeft afgetrokken heeft het overgebleven getal rest 1 of 2 na deling door 3. In het bijzonder kan Baswa dus niet het getal in 0 veranderen. Indien het rest 1 heeft dan trekt Awa 1 ervan af, en indien het rest 2 heeft dan trekt Awa 2 ervan af. Indien het nu overgebleven getal 0 is dan heeft Awa gewonnen. Indien dat niet het geval is, dan is Baswa weer aan de beurt en is het overgebleven getal weer deelbaar door 3. Dit betekent dat Baswa het overgebleven getal wederom niet direct in 0 kan veranderen, en het dus weer moet veranderen in een getal met rest 1 of 2 naar deling door 3. Awa blijft deze strategie herhalen tot het overgebleven getal 0 is, en dan heeft zij gewonnen. Omdat het getal aan het begin van Baswa's beurt altijd deelbaar is door 3 kan Baswa nooit winnen. 

Bij het tweede spel begint Awa weer met openingszet 1, zodat er $2026 - 1 = 2025$ overblijft. Dit is deelbaar door 5, dus nadat Baswa er een macht van vier heeft afgetrokken heeft het overgebleven getal een rest van 1 of 4 na deling door 5. Indien de rest 1 is trekt Awa 1 ervan af, en indien de rest 4 is trekt Awa 4 ervan af. En zo gaat Awa door tot zij het overgebleven getal in 0 verandert. Baswa kan nooit winnen, omdat hij altijd begint met een getal deelbaar door 5 en machten van 4 zijn nooit deelbaar door 5. 

Opgave 572 ^[oOO]

Er zijn meerdere manieren om hiervoor een programma te schrijven: we zullen hier een voorbeeld geven. Omdat we kijken naar een kwadraat van 8 cijfers kwadrateren we een getal groter dan $\sqrt{10.000.000} \approx 3162,3$ en strikt kleiner dan $\sqrt{100.000.000} = 10.000$. We beschouwen dus alle natuurlijke getallen tussen 3163 en 9999. We filteren daarna alle getallen eruit waarvoor het derde, zesde en zevende cijfer hetzelfde zijn. Tenslotte kunnen we van de overgebleven getallen een verzameling maken van het eerste, tweede, derde, vierde, vijfde en achtste cijfer en controleren of deze verzameling volledig uit verschillende cijfers bestaat. Uiteindelijk vinden we dan 24 oplossingen:

\begin{align*}
    3583^2 & = 12837889, \quad 3753^2 = 14085009, \quad 4003^2 = 16024009, \quad 4247^2 = 18037009 \\
    4521^2 & = 20439441, \quad 5083^2 = 25836889, \quad 5143^2 = 26450449, \quad 6251^2 = 39075001, \\
    7015^2 & = 49210225, \quad 7609^2 = 57896881, \quad 8247^2 = 68013009, \quad 8251^2 = 68079001, \\
    8271^2 & = 68409441, \quad 8359^2 = 69872881, \quad 8417^2 = 70845889, \quad 8615^2 = 74218225, \\
    8954^2 & = 80174116, \quad 9002^2 = 81036004, \quad 9003^2 = 81054009, \quad 9015^2 = 81270225 \\
    9344^2 & = 87310336, \quad 9749^2 = 95043001, \quad 9751^2 = 95082001, \quad 9771^2 = 95472441
\end{align*}